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Analisi dell'informazione di Bob circa x

Esaminiamo adesso un possibile inganno da parte di Bob. Osserviamo che tutta l'informazione disponibile a Bob circa x gli è data attraverso la trasmissione quantistica di c nel passo 4. Vedremo che anche se Bob effettuasse la misura ottima (in base Breidbart), essendovi molti vettori alla stessa distanza da c, otterrebbe un'informazione esponenzialmente piccola su c. Dimostriamo, innanzitutto, che la base Breidbart costituisce la migliore misura che Bob possa effettuare. Vale a tal proposito il seguente teorema:

L'idea della dimostrazione è molto semplice. Consideriamo un nuovo protocollo commit'(x) che ha come variante, rispetto a commit(x) il passo 4:

4'

Per i=1,...,n

• Alice sceglie un bit casuale
• Alice manda a Bob un fotone con polarizzazione .

Ciò che si verifica è che le matrici densità (che, ricordiamo, descrivono la mistura quantistica di stati mandati a Bob) utilizzate per rappresentare uno 0 o un 1 nei passi 4 e 4', coincidono sia per commit(x) che per commit'(x). Sfruttando il teorema della fisica quantistica , affermante che misture con identiche matrici densità non possono essere distinte da ogni misura quantistica, si deduce che Bob è capace di ottenere la stessa informazione su c (e così su x), sia in commit(x) che in commit'(x). Quindi, in altre parole, commit(x) e commit'(x) sono equivalenti, e poiché ( ) è una base ottima per commit'(x) (in quanto tutti i fotoni mandati in esso sono polarizzati in tale base e, quindi, tutti i bit possono essere ottenuti con certezza a meno di errori dovuti a cause naturali) allora ( ) è anche ottima per commit(x). Ciò significa, in particolare, anche ogni più generale misura congiunta su tutti i fotoni insieme (misura coerente) non sarà di nessun vantaggio (ciò completa la dimostrazione sulla sicurezza dell'OT). Malgrado un onesto Bob non effettui la misura ottima, dimostreremo che, anche se lo facesse, otterrebbe poca informazione circa x. Premettiamo, a tal proposito, il seguente lemma:

Usando il fatto che , si perviene alla conclusione che il numero di parole codice a distanza d da c', costituenti l'insieme E, è almeno che è esponenzialmente grande se k/n ;SPMgt; 1/2, ciò tranne che con probabilità , per ogni (nell'OT, il fatto che k ;SPMgt; n/2 ci era stato utile per dimostrare che , per quel protocollo, la misura nella base canonica fosse la migliore possibile). Sfruttando, infine, il seguente lemma:

possiamo dedurre che, nel nostro caso, il numero di bit d'informazione che Bob ottiene su x dopo aver osservato c' è meno di , che è esponenzialmente piccolo come . In definitiva, se ed assumendo il canale senza rumore, cioè con , il che significa che , prendendo troviamo che il numero di bit d'informazione è al più (quindi molto pochi per n sufficientemente grande), ogni volta che k/n ;SPMgt; 0.51, anche se Bob conosce l'esatto numero di errori d.

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